Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc·cosA
1.3. Угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми.
За угол между пересекающимися прямыми принимают острый угол, образованный этими прямыми.
Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD определяется как угол между пересекающимися прямыми А1В1 и С1D1, при этом А1В1|| АВ и С1D1|| CD.
1.4. Угол между плоскостями (АСН) и (СНD) – это двугранный угол АСНD, где СН ребро.
Точки А и D лежат на гранях этого угла. AF CH, FD CH.
Угол AFD – линейный угол двугранного угла АCHD
2. Решение задач.
Задача №1.В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
3) из ABD по теореме косинусов:
Задача №2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ВСC1.
1) ВС1 - проекция прямой АС1 на плоскость (ВCС1), так как AB (ВCС1), то AB ВС1;
2) Пусть АВ = а, тогда ВС1 = а из C1CB.
4) AC1B = arctg .
Задача №3. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1, является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем ВР : РВ1= 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.
2) Т.к. ВН АС (высота р/б ),то по теореме о трех перпендикулярах РН АС.
3) Тогда РНВ – линейный угол двугранного РАСВ. Найдем его из прямоугольного РНВ.
4) РВ = 1/4 ВВ1 = 1/4 · 24 = 6,
5) ВН 2 = АВ 2 – АН 2 (из AНВ)
ВН 2 = 20 2 – 16 2 = 144, ВН = 12;
6) tg РНВ = PB/HB = 6/12 = 0,5.
Задача №4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.
1) Так как ABCD – квадрат, то АВ AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет AD. Значит, искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD.
2) SM – высота грани SAD, SM = /2, МО || АВ, МО = 0,5АВ = 0,5.
3) ?SMO – искомый угол, косинус которого найдем из прямоугольного SMO.
3. Повторение.
3.1. Расстояние от точки до прямой.
Определение. Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой.
3.2. Расстояние от точки до плоскости.
Определение. Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости.
3.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
- 1 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.
- 2 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.
- 3 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.
4. Решение задач.
Задача №5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A1F1.
1) Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, то прямые AC и AF перпендикулярны.
CA AFпо доказанному,
CA A1А по определению правильной призмы
CA (АA1F1) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, т.е.
СА – перпендикуляр к плоскости, CA1 - наклонная, A1А – проекция наклонной,
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA1 A1F1, значит, длина отрезка CA1 равна искомому расстоянию.
2) Из АВС (АВ=ВС=5, B = 120 o )
по теореме косинусов найдём СА: , ,
3) Из CAA1, по теореме Пифагора найдём CA1:
CA1 2 = 75 + 121 = 196
Задача №6.
Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если АD = 2 , АВ = АС = 10, ВС = 4 .
1) Построим плоскость КМN.
Т. к. КМ – средняя линия АDВ, КМ?DВ,
MN - средняя линия АВC, МN ||| CВ, то (KMN) || (BCD) по признаку
параллельности плоскостей. АР – медиана и высота р/б АВC.
KF – медиана и высота р/б KMN.
DP BC по теореме о трёх перпендикулярах, KF || DP.
Искомое расстояние AH равно половине расстояния от вершины А до плоскости BCD, т.к. (KMN) || (BCD) и KF – средняя линия ADP.
2) LDA и ADP подобны по двум углам, тогда LA:AP=AD:DP, тогда AL = (AP*AD):DP.
Найдём АР из АВР по теореме Пифагора (АВ=10, ВР = 2 ):
AP 2 = AB 2 – BP 2 = 100 – 20 = 80, АР= 4
Найдём DР из АDР по теореме Пифагора: DP 2 = AD 2 + AP 2 = 20 + 80 = 100, DP = 10.
Тогда AL =( 4 · 2 ):10=4. Итак, АН = 1/2 AL = 2.
Задача №7.
В правильной шестиугольной призме АВCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С1 и F.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой C1F.
а) Сечение – четырёхугольник BC1E1F с диагональю C1F.
Сторона ВC1= - диагональ квадрата ВВ1С1С со стороной 1.
Сторону BF найдём из ABF по теореме косинусов:
BF 2 =AB 2 +AF 2 -2 * AB * AF * cos BAF;
BF 2 =AB 2 +AF 2 -2 * AB * AF * cos120 0 = 3.
Так как CBF=90°, то по теореме о трёх перпендикулярах, BF BC1.
Значит, сечение BC1E1F – прямоугольник. Диагональ прямоугольника C1F 2 =BF 2 +BC1 2 ; C1F 2 =3+2=5.
б) Сечение – прямоугольник BC1E1F.
ВК C1F, ВК – искомое расстояние от точки В до прямой C1F.
Найдем ВК как высоту из FBС1,
Используя 2 формулы площади треугольника.
Задача №8.
Основанием прямой четырехугольной призмы является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K - середина ребра ВВ1. Через точки K и С1 проведена плоскость a, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью a является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью a.
а) Для построения сечения призмы плоскостью a, проведём КЕ || BD1, E € B1 D1.
Плоскость a проходит через точки К, С1 и Е.
Так как К – середина ВВ1 и КЕ || BD1, то Е – середина диагонали А1 С1 квадрата А1 В1 С1 Д1. Значит, плоскость a пересекает
Соединив точки К, С1 и А1, получаем А1 КС1 - сечение призмы плоскостью a.
Из равенства треугольников следует, что А1К = С1К, значит А1 КС1 - равнобедренный.
5. Задачи для самостоятельного решения.
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2:5, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB =1: 6, а точка Т — середина ребра B1 C1. Известно, что AB = 5, AD = 6 , AA1 =14.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1 .
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1 .
2) Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 4.
Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .
3) В правильной шестиугольной призме А…F1 все рёбра равны 2.
а) Докажите, что плоскость ВВ1F перпендикулярна прямой В1С1.
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости F В1С1.
4) В пирамиде DАВС известны длины ребер АВ=АС=DВ=DС=13, DА =6, ВС=24.
а) Постройте прямую, перпендикулярную прямым DА и ВС.
б) Найдите расстояние между прямыми DА и ВС.
5) Высота правильной треугольной пирамиды равна 20, а медиана её основания равна 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её вершину и перпендикулярной ребру основания.
б) Найдите тангенс угла, который образует боковое ребро с плоскостью основания.
6) В правильной четырёхугольной пирамиде МАВСD с вершиной М сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра МА параллельно прямой ВD.
б) Найдите площадь этого сечения.
Используемая литература.
1) И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин “Подготовка к ЕГЭ по математике 2016, профильный уровень”, Москва, издательство МЦНМО, 2016.