научная статья по теме О ЗАВИСИМОСТИ ДАВЛЕНИЕ - ОБЪЕМ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ИЗВНЕ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА Физика

Текст научной статьи на тему «О ЗАВИСИМОСТИ ДАВЛЕНИЕ - ОБЪЕМ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ИЗВНЕ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА»

М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2010

О ЗАВИСИМОСТИ ДАВЛЕНИЕ - ОБЪЕМ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ИЗВНЕ

Знание для индивидуального глаза зависимости внутриглазного объема от внутриглазного давления при наличии заданной внешней нагрузки необходимо для получения физически корректных выводов из данных стандартных измерительных процедур, принятых в офтальмологии (тонометрии, эластометрии, тонографии). На основании общих физических принципов с использованием теории размерности сформулированы ограничения на возможные формы такой зависимости в рамках допущения об упругом поведении оболочки глаза и упругом характере ее взаимодействия с окружающими объектами. Обсуждается возможное использование найденных ограничений в экспериментальных и теоретических исследованиях.

Ключевые слова: глаз, математические модели, теория размерности, оболочка глаза, внутриглазное давление, тонометрия, эластометрия, тонография.

Глаз можно грубо представить как оболочку, заполненную жидкостью, сложным образом закрепленную в глазнице [1]. Жидкость находится под давлением, которое в рамках такого подхода отождествляется с внутриглазным давлением. Для многих практически важных задач поведение оболочки глаза можно считать упругим, т.е. после снятия нагрузки деформация, вызванная этой нагрузкой, полностью исчезает. При детальном моделировании можно говорить о двух аспектах упругого поведения: во-первых, упругими материалами являются ткани, образующие оболочку глаза (склера и роговица), во-вторых, упругими предполагаются связи, определяющие взаимодействие этой оболочки с окружающими тканями.

Задача об упругом отклике глаза на давление заполняющей его жидкости и приложенные к его оболочке внешние усилия достаточно сложна из-за неоднородности и анизотропии роговицы и склеры [2]. Кроме того, данные как о механических свойствах тканей глаза, так и о характере его закрепления в глазнице скудны и противоречивы. Даже порядок величины локальных упругих модулей склеры и роговицы служит предметом споров [2]. И все же главная трудность в очень значительном индивидуальном разбросе характеристик, которые заведомо не известны при измерениях на живом человеке. Тем не менее имеется немало практически важных ситуаций, которые могут быть достаточно полно проанализированы на основе только немногих интегральных зависимостей, определяющих упругое поведение глаза как целого.

В предлагаемой работе рассматривается одна из таких зависимостей, связывающая внутриглазное давление с объемом заполняющей глаз жидкости и величиной внешней нагрузки. Обсуждаются практически важные задачи, которые могут быть решены, если эта функция известна. Изучаются ограничения, налагаемые на форму изучаемой функции общими физическими принципами. Знание таких ограничений позволяет упростить последующие теоретические и экспериментальные исследования.

1. Эксперименты и измерения, описываемые с помощью интегральных функций. Рассмотрим глаз как упругую оболочку, заполненную несжимаемой жидкостью и взаимодействующую посредством упругих связей с окружающими структурами. Пусть к роговице глаза приложена известным образом некоторая сила с абсолютной величиной Р.

Схема разных типов приложения внешней нагрузки к роговице глаза: а — ненагру-женный глаз, 1 — роговица (тонкая линия), 2 — склера (жирная линия), 3 — ткани глазницы (заштрихованная область); б — нагружение штампом (тонометры Макла-кова и Гольдмана); в — нагружение вдавливаемым стержнем (тонометр Шиотца); Р — вес груза, Ро — давление до нагружения ("истинное"), p — давление после нагру-жения ("тонометрическое"), h — измеряемый геометрический параметр (б — диаметр зоны контакта, в — глубина погружения стержня)

При реализации стандартных, принятых в офтальмологии измерительных процедур это обычно вес груза. Груз может иметь форму плоского штампа в тонометрах Макла-кова и Гольдмана или стержня (плунжера) в тонометре Шиотца (см. фигуру).

Естественно предполагать, что упругие свойства тканей глазной оболочки и параметры закрепления в глазнице для данного глаза фиксированы, а параметры, определяющие способ приложения нагрузки, стандартизованы. Тогда, опуская постоянные аргументы, можно ввести две функции двух переменных [3, 4], знание которых для индивидуального глаза дало бы возможность однозначно отвечать на многие традиционные для офтальмологии вопросы.

Первая из этих функций определяет зависимость непосредственно измеряемой при нагружении роговицы геометрической характеристики h от параметров, определяющих испытываемые оболочкой внутреннюю и внешнюю нагрузки. Внутренняя нагрузка характеризуется текущим внутриглазным давлением p (в офтальмологии его называют тонометрическим), а внешняя — приложенной извне силой P. Величина h при наложении штампа есть диаметр пятна контакта тонометра со смятой оболочкой, а при нагружении по Шиотцу — это глубина погружения плунжера.

Функция h(p,P) для случая нагружения штампом имеет простую и хорошо известную форму, если считать роговицу, с которой штамп вступает в непосредственный контакт, мягкой, т.е. не сопротивляющейся изгибу оболочкой. В этом случае

p = P/(nh 2/4), откуда h(p, P) = ^4Р/ (np). В пользу того, что роговица во многих случаях ведет себя именно как мягкая оболочка, имеются важные доводы, да и офтальмологическая традиция явно или неявно основывается на этом представлении. Для тонометра Шиотца такой простой зависимости нет. В настоящей работе структура и свойства функции h(p,P), которая в упомянутом важном случае легко вычисляется, не анализируются. Будем полагать, что она известна. Это означает, что при приложении известной нагрузки P известным образом текущее (тонометрическое) давление p определяется по измеряемому геометрическому параметру h.

Вторая функция выражает зависимость внутриглазного объема V от тех же параметров: внутриглазного давления р и нагрузки Р. Эта функция, и даже ее общая форма, достоверно неизвестна (результаты некоторых первоначальных расчетов приведены в [4]). В офтальмологии при обработке данных измерений функция V(p,Р) не вводится. Покажем, что знание этой функции позволяет корректно учесть упругие свойства глазной оболочки при интерпретации данных основных стандартных измерений. Для этого рассмотрим важнейшие классы офтальмологических измерительных процедур.

"Раздувание" глаза внутренним давлением. Будем вводить во внутриглазное пространство фиксированные объемы жидкости. Из-за несжимаемости на ту же величину будет увеличиваться объем внутриглазного пространства. Механическая реакция глаза регулируется в этом случае функцией только давления, которая равна V(p,0) и для которой примем сходное обозначение V(p), различая эти функции только числом аргументов.

Такого рода эксперимент многократно выполнялся на выделенных глазах. По понятным причинам выполнение его на живом глазу человека затруднительно, однако имеются и такие данные. В результате обработки результатов экспериментов на выделенных глазах возникло представление об экспоненциальной форме функции р(У), обратной к V(p), которое связывают с именем Фриденвальда [5]. Функция V(p) тогда оказывается логарифмической

V(p) = Ъо + к 1п (р/роо) (1.1)

где V00 — условный начальный объем, соответствующий некоторому условно выбранному начальному давлению роо.

Со времен Фриденвальда принято считать (на основании статистической обработки, впрочем, не вполне корректной), что среднее значение константы Е = 1/к для человека равно 0.0215 1п10 мм3 (появление множителя 1п10 связано с использованием в соответствующих исследованиях десятичного, а не натурального логарифма).

Некоторые новые данные [6] позволяют предполагать, что для глаза т у1уо функция р(У) может оказаться близкой к линейной.

Тонометрия и эластометрия. При тонометрии внешняя нагрузка прилагается кратковременно (1—2 с). За это время в глаз не успевает втечь и из глаза вытечь сколько-нибудь заметное количество жидкости. При известной функции V(p, Р) определение "истинного" давления (т.е. давления в ненагруженном глазу) р0 свелось бы к решению уравнения V(p ,Р) = Й(р0,0). В офтальмологической практике и теории пересчет от то-нометрического давления р к истинному р0 (в тех случаях, когда таковой проводится) выполняется на основе некоторой стандартной эвристической методики [5], которая имеет мало общего с реальностью [7, 8] и здесь заново рассматриваться и оцениваться не будет. Как правило, при ее реализации используются осредненные по многим людям данные об упругом отклике глаза.

Конечно, врачи прекрасно понимают значительные различия между упругими характеристиками разных глаз, сильно зависящими от возраста, характера патологии и других, не всегда ясных, факторов. Поэтому был разработан ряд близких по физическому смыслу измерительных процедур (эластометрия, в настоящее время чаще называемая эластотонометрией, и др.), использующих нагружение одного глаза несколькими грузами. Таким образом, некоторые сведения о структуре функции V(p ,Р) стремятся получить на основе анализа системы соотношений V(p¡,Р) = V(p0,0), где р( — давление, измеренное в ;-м эксперименте под нагрузкой, равной Рг. Вопрос о возможности такой оценки будет рассмотрен ниже.

Компрессионная монография. При тонографии постоянная нагрузка прикладывается на достаточно длительный срок (обычно 4 мин), за который через глаз протекает значительный объем жидкости и успевает произойти перестройка течения. Во всех методиках обработки данных этого теста, имеющего целью нахождение гидравлических характеристик системы, необходимо знание функции У(р,Р) при фиксированной (заданной условиями опыта) нагрузке Р или хотя бы приращения У(р,Р) - У(р(0),Р), где р(0) — давление в начале эксперимента, т.е. сразу после приложения нагрузки. В настоящее время эта величина определяется на основе все тех же упомянутых выше сомнительных эвристических соображений. Как правило, при интерпретации результатов тонографии используется еще и "истинное" внутриглазное давление (до нагруже-ния). Проблема определения этой величины ничем не отличается от той же проблемы при тонометрии.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎