Движение тела под углом к горизонту

Рассмотрим движение тела (материальной точки) брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты $h_0$. Начальная скорость тела равна $_0$, вектор $_0$ составляет угол $\alpha $ с горизонтом (рис.1). Систему отсчета, в которой движется тело, свяжем с Землей. Ось X направим параллельно земле, ось Y вертикально вверх.

Движение тела под углом к горизонту происходит в поле тяжести Земли под воздействием силы тяжести. Силой сопротивления воздуха пренебрежём. В этом случае ускорение тела ($\overline$) совпадает с ускорением свободного падения ($\overline$):

Запишем начальные условия движения тела (рис.1):

Уравнение для перемещения тела, брошенного под углом к горизонту. Траектория его движения

Перемещение тела, которое бросили под углом к горизонту является равноускоренным, следовательно, для написания уравнения движения воспользуемся векторным уравнением для перемещения ($\overline$) при равнопеременном движении в виде, учтем равенство (1):

Векторное уравнение (3) в проекции на оси координат X и Y даст нам два скалярных уравнения:

Из системы уравнений (4) мы видим, что при рассматриваемом нами движении происходит наложение двух прямолинейных движений. Причем по оси X тело под углом к горизонту движется с постоянной скоростью $_=v_0$ а по оси Y материальная точка перемещается с постоянным ускорением $\overline$. Уравнение траектории движения тела можно получить, если из первого уравнения системы (4) выразить время ($t$) полученный результат подставить во вторую формулу системы:

Уравнение $y(x)$ (функция (5)) показывает, что тело движется по параболе в плоскости, в которой лежат векторы $\overline$ и $_0.$

Уравнение скорости движения тела брошенного под углом к горизонту

В векторном виде уравнение для скорости движения рассматриваемого нами тела в произвольный момент времени запишем:

В скалярном виде уравнение (6) представим в виде системы уравнений:

В системе уравнений (7) мы еще раз видим, что движение тела под углом к горизонту по оси X равномерное, по оси Y равнопеременное. Причем, двигаясь вверх, тело уменьшает свою скорость от $v_$ до нуля, затем падая вниз скорость тела увеличивается.

Модуль вектора скорости в производный момент времени для рассматриваемого нами движения найдем как:

Время подъема и полета тела

Время, которое тело тратит на полет вверх в рассматриваемом движении можно найти из второго уравнения системы (7). В точке максимального подъема вектор скорости точки параллелен оси X, значит $v_y=0$, тогда время подъема ($t_p$):

Время, которое тело находилось в воздухе (время полета($t_$)) получим из второго уравнения системы (4), приравняв ординату $y$ к нулю:

При $h_0=0$ мы видим, что $t_=2t_p.$

Дальность полета и высота подъема

Для того чтобы найти горизонтальную дальность полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (4) подставим время полета ($t_$) (10). При $h_0=0,$ дальность полета равна:

Максимальную высоту подъема тела под углом к горизонту ($h_$) находят из второго уравнения системы (4), подставляя в него время подъема ($t_p$) (9):

Примеры задач с решением

Задание. Каким будет угол ($\alpha $) под которым бросили тело к горизонту, если оказалось, что максимальная высота подъема ($h$) тела в четыре раза меньше, чем дальность его полета ($s$)? Сопротивление воздуха можно не учитывать.

Решение. Выберем систему отсчета связанную с Землей. Будем считать, что тело бросили из начала координат (рис.2).

Запишем кинематические уравнения движения тела в поле тяжести земли:

Исходя из начальных условий, нашей задачи:

В проекциях на оси уравнения (1.1) и (1.2)предстанут в виде:

Время подъема из второго уравнения системы (1.5) равно:

Тогда максимальная высота подъема равна:

Если тело бросили из начала координат, то $t_=2t_p,$ дальность полета найдем, подставив время полета в первое уравнение системы (1.4):

По условию задачи: $h=\frac$, используем уравнения (1.7) и (1.8):

Ответ. $\alpha =\frac$

Задание. Какова скорость падения тела брошенного под углом горизонта $\alpha $ со скоростью $v_0$? Если тело бросили с земли. Сопротивление воздуха можно не учитывать.

Решение. За основу решения задачи примем кинематическое уравнение для скорости движения тела в поле тяжести Земли:

Начальные условия движения нашего тела:

В проекциях на оси X и Y уравнение (2.1):

Время подъёма тела, принимая во внимание, что $v_y\left(t_p\right)=0$ из второго уравнения (2.3) равно:

Если тело бросили из начала координат, то $t_=2t_p:$

Зная время полета, найдем $v_y\left(t_\right)$, подставив его во второе уравнение (2.3):

Модуль вектора скорости в момент падения найдем как:

Ответ. При заданных условиях величина скорости падения равна модулю скорости бросания.