Таблица 4 Корни функции Бесселя
2 .3.3. Для прямоугольного волновода из решения уравнений Максвелла с выполнением граничных условий на идеально проводящих стенках получаются решения для комплексных амплитуд поля волн типа Нmn:
–начальная фаза напряженности магнитного поля, рад;
–действительная амплитуда напряженности продольного магнитного поля, А/м;
, – комплексные амплитуды напряженности электрического поля, В/м.
В круглом волноводе с радиусом R поле волн типа :
и для волн типа :
2.3.4. Критическая длина волны в прямоугольном волноводе
Критические длины волн в круглом волноводе для волн типа
и волн типа Нmn
Приведенные выше выражения для кр позволяют найти поперечные размеры прямоугольного волновода и диаметр (D=2R) круглого волновода при работе с высшими типами волн.
2.3.5. В прямоугольном волноводе критические частоты волн типа Н и Е с одинаковыми сочетаниями индексов m и n одинаковы и равны
где –так как волновод заполнен воздухом.
В круглом волноводе критические частоты имеют разные значения у волн типа Н и Е даже с одинаковыми индексами.
2.3.6. Длина волны в волноводе, фазовая и групповая скорости вычисляются для прямоугольного и круглого волноводов по одинаковым формулам, но при соответствующих кр :
–в соответствии с заданием ;
- в волноводе, заполненном воздухом;
2.3.7. Максимально допустимая длина волновода, при которой искажения еще невелики
где - разность двух крайних частот спектра.
2.3.8. Предельная мощность в прямоугольном волноводе на средней частоте и волне типа Н10 и Н20
Предельная мощность в круглом волноводе:
1) с волной типа
Пробивная мощность КСВ ,
где КСВ – коэффициент стоячей волны.
Максимально допустимая мощность
Рабочая мощность (мощность, проходящая по волноводу)
где – амплитуда максимального значения электрического поля.
В задании именно это максимальное значение поля и задано.
Должно выполняться условие
2.3.9. Коэффициент затухания волн типа Н10 и Н20 в прямоугольном волноводе при воздушном заполнении равен
где – удельное поверхностное сопротивление
где - удельная объемная проводимость стенок ( такая же, как в задаче 1).
Коэффициенты затухания в круглом волноводе равны у волн
где R – внутренний радиус волновода.
2.3.10. Отношение амплитуд поля и отношение мощностей можно найти из следующей формулы
2.3.11. Расстояние , на котором поле волны (или ), находящейся в закритическом режиме, уменьшается в 100 раз на средней частоте диапазона, находится так :
Критическая длина волны типа при выбранных размерах прямоугольного волновода
Критическая длина волны типа в круглом волноводе
Коэффициент закритического затухания
где - для воздуха.
Откуда расстояние, на котором поле уменьшится в 100 раз, равно
2.3.12. Коэффициент полезного действия несогласованной с нагрузкой линии передачи
где - модуль коэффициента отражения;
- коэффициент затухания в Неп/м;
Модуль коэффициента отражения
При расчете КПД величина вычисляется как обычно
ЗАДАЧА 3. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
Задана форма резонатора и тип колебания (Нmnp,Emnpили Т (ТЕМ)р=1), его размеры a, b, d – в прямоугольном резонаторе, радиус R и длина d – в цилиндрическом резонаторе; меньший радиус R1 = 50 мм и больший радиус R2= R, длина d – в коаксиальном резонаторе. Дана максимальная амплитуда напряженности электрического поля , проводимость материала стенок равна , заполнение воздушное, , .
3.2. Требуется выполнить следующее :
1. Нарисовать картину поля заданного типа колебания, используя рис.3.
2. Записать выражения для компонент поля соответствующего типа колебаний. В эти выражения надо подставить числовые значения , , , которые заданы типом колебаний и размерами а, b, d, R.
3. Найти резонансную частоту резонатора с заданным типом колебания.
4. Запасенную энергию электромагнитного поля W (считать, что заданное электрическое поле E равно соответственно , или – амплитуде поля в том месте, где поле максимально).
5.Глубину проникновения в материал стенок.
6.Добротность резонатора Q без учета потерь в диэлектрике.
7.Постоянную времени . Определить, во сколько раз уменьшится запасенная в резонаторе энергия при свободных колебаниях за времяt=5 с.
3.3 Методика решения задачи
3.3.1. Картины полей различных типов колебаний в резонаторах различной формы приведены на рис.3.
3.3.2. Для прямоугольного резонатора составляющие поля для колебаний :
Рис.3. Полые металлические резонаторы:
а) и б) - прямоугольный с колебаниями H101 и E110;
в) - цилиндрический с колебанием E010;
г) - коаксиальный Т (ТЕМ) (р=1)
Пример картины поля типа , например, , приведен на рис. 3a.
Для прямоугольного резонатора составляющие поля для колебаний типа :
Пример картины колебаний типа , например Е110, приведен на рис. 3б.
У цилиндрического резонатора составляющее поля колебаний типа Е010 равны:
где - находится из табл.4;
и - функция Бесселя 1-го рода нулевого и первого порядка соответственно.
Картина поля колебания приведена на рис.3в.
Для коаксиального резонатора с волной Т (ТЕМ), картина поля которой для p=1 приведена на рис. 3г:
3.3.3. Резонансные частоты в прямоугольном резонаторе с колебаниями типа и
Резонансные частоты цилиндрических круглых резонаторов с колебаниями типа
где - корень функции Бесселя первого родаm – го порядка.
Резонансная частота коаксиального резонатора с колебанием типа Т (ТЕМ)
3.3.4. Запасенная электромагнитная энергия
1) в прямоугольном резонаторе с типом колебания
2) в прямоугольном резонаторе с типом колебания
3) в цилиндрическом резонаторе с колебанием типа
где - находится из табл. 1 Приложения;
4) в коаксиальном резонаторе с колебанием типа Т (ТЕМ) при р=1
Рис.3 Полые металлические резонаторы:
а) и б) - прямоугольный с колебаниями H101 и E110;
в) - цилиндрический с колебанием E010;
г)-коаксиальный Т (ТЕМ) (р=1)
3.3.5. Глубина проникновения в материал стенок
3.3.6. Добротность при различных типах колебаний:
1) в прямоугольном резонаторе с колебаниями и
2) в цилиндрическом резонаторе с колебанием :
3) в коаксиальном резонаторе с колебанием Т (ТЕМ) при р=1
3.3.7. Энергия при свободных колебаниях тратится на потери и постепенно уменьшается по закону
где - начальный запас энергии в резонаторе при ;
- собственная частота резонатора.
Собственная частота и резонансная частота связаны друг с другом через добротность так, что
Как видно, при больших добротностях в инженерных расчетах этой разницей в величинах резонансной и собственной частоты можно пренебречь и считать .
За время энергия поля при свободных колебаниях уменьшается
1.Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ.-М.: Высшая школа, 1990.-335с.
2. Яманов Д.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. Часть 1. ”Основы электродинамики”: Тексты лекций.- М.: МГТУ ГА, 2009.-76 с.
3. Яманов Д.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. Часть 2.”Основы электродинамики”: Тексты лекций.- М.: МГТУ ГА, 2011.-76 с.
4. Фальковский О.И. Техническая электродинамика.-М.: Связь, 1978.-432 с.
5. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн.-М.: Высшая школа, 1992.-416 с.
Значение функции Бесселя 1-го рода нулевого порядка J0 (x) и первого порядка J1 (x) для аргументов от до