Урок "Площадь треугольника" - заключительный урок в курсе планиметрии

Урок "Площадь треугольника" - заключительный урок в курсе планиметрии

Тип урока. Урок обобщения и систематизации.

  • Образовательная. Обобщить и углубить знания по теме и применять их при решении задач в стандартных и нестандартных ситуациях.
  • Дидактическая: формулирование умений применять формулы площади треугольника на уровне обязательной подготовки.
  • Развивающая:
    • дальнейшее формирование познавательного интереса,
    • познавательной самостоятельности на основе: соединения теоретического материала с его практическим применением; создания проблемной ситуации при закреплении и отработке ранее изученного материала;
    • развитие творческих способностей учащихся, развитие умственной и особенно мыслительной активности, развитие самостоятельности и умения учиться, развитие навыков самоконтроля.

    Оборудование: раздаточный материал, плакаты с готовыми чертежами, кодоскоп, телевизор.

    1. Организационный момент (2 мин.).
    2. Анализ домашней контрольной работы (3 мин.).
    3. Повторение формул (работа с тестами, проверка - 5 мин.).
    4. Историческая справка (5 мин.).
    5. Проверка умений учащихся самостоятельно применять знания в стандартных ситуациях (проверочная работа - 15 мин.).
    6. Проверка умений учащихся применять знания в нестандартных задачах (10 мин.).
    7. Домашнее задание (2 мин.).
    8. Подведение итогов (5 мин.).

    Исходный уровень знаний, умений и навыков учащихся:

    Учащиеся знают формулы для вычисления площади треугольника S= ah, S= , где a – сторона правильного треугольника, S= ab, где a и b – катеты, S= pr, где p – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности, S= absinС, S= , S= , где R - радиус описанной окружности, S= c2, S= a2, умеют применять их при решении задач.

    Оформление доски. Дома: № 1037, № 1065, № 1202** (стр. 239).

    Тема урока (слева).

    В-I 1 2 3 4 5 у д а ч и B-II 1 2 3 4 5 у д а ч и

    Задачи из вступительных экзаменов в вузы. На обратной стороне решение II варианта.

    Анализ контрольной работы (домашней).

    “Радость от решения трудной задачи будет вам наградой за упорство.” Л.С. Атанасян.

    Ход урока

    I. Кто не слышал о загадочном бермудском треугольнике (находится в Атлантическом океане между бермудскими островами, государством Пуэрто–Рико и полуостровом Флорида), в котором бесследно исчезают корабли и самолёты?

    А ведь знакомый всем с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

    Не случайно 38 пунктов из 112 геометрии 7-9 (3-я часть) сводится к изучение треугольника.

    Часто знает и дошкольник, Что такое треугольник. А уж вам-то, как не знать! Но совсем другое дело - Очень быстро и умело Его площадь подсчитать.

    Для вычисления площади треугольника в рукописи “Книга сошного письма”, написанной в 1629 г., рекомендуется произведение большей и меньшей сторон разделить на два. Это правило даёт лишь приближенное значение истинного размера площади.

    Мы с вами научились точно вычислять площадь треугольника, используя различные формулы, которые сегодня будем использовать при решении стандартных и нестандартных задач.

    Итак, тема урока “Площадь треугольника” (заключительный урок в курсе планиметрии). Урок обобщения и систематизации.

    II. Сейчас всем предстоит выполнить тест, который позволит вспомнить формулы для вычисления площади треугольника и является подготовкой для проверочной работы.

    Должны получить слово удачи.

    Тест

    Фамилия 1 2 3 4 5 Вариант 1 У Д А Ч И

    Стороны треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.

    а) 120 см 2 ; б) 60 см 2 ; у) 30 см 2 ; г) 65 см 2 .

    Площадь треугольника со сторонами a, b, c, периметром Р через радиус r вписанной в этот треугольник окружности вычисляется по формуле:

    а) S = pr; б) S = ; д) S = p*r; с) S =

    Сторона правильного треугольника равна 3 см. Найдите площадь этого треугольника.

    а) см 2 ; б) см 2 ; в) см 2 ; г) см 2 .

    Треугольники, имеющие равные основания и равные высоты:

    х) равны; у) подобны; ч) равновелики.

    5. Найдите площадь треугольника со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

    а) 32 см 2 ; и) 24 см 2 ; б) 28 см 2 .

    Мы с вами доказали все теоремы, связанные с вычислением площади треугольника ( в том числе и формулу Герона). По крайней мере существует пять способов доказательств этой теоремы. Мы же использовали формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними S = absina, основное тригонометрическое тождество, теорему косинусов, формулы сокращённого умножения и свойства арифметического корня. За эту теорему все получили оценки.

    Теорема

    Если a, b, c – стороны треугольника ABC, p – его полупериметр, то для площади треугольиика справедлива формула

    Дано: a, b , c, - стороны ?ABC, p – полупериметр.

    Т р е б у е т с я доказать, что S= .

    Доказательство. В силу теоремы S= absinC= ab (1)

    ( Так как 0<C< , то перед радикалом берется знак плюс.)

    Внесём произведение ab под знак радикала, а cosC найдём по теореме косинусов:

    Тогда из формулы (1) получим

    Преобразуем подкоренное выражение в полученном равенстве:

    По определению p=

    Возвращаясь к равенству (2), получим нужный результат:

    Историческая справка. (// Глейзер Г.И. История математики в школе.)

    Найти площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15.

    Разобрать задачу 2 домашней контрольной работы.

    Мы с вами знаем и умеем применять 9 формул для вычисления площади треугольника. (Выяснить по таблице, каких не хватает.)

    !! Доказать, что площадь треугольника можно вычислить через все углы и радиус описанной около треугольника окружности.

    S = absinC, =2R, a = 2RsinA , b = 2RsinB

    S = 2RsinA2RsinBsinC = 2R 2 sinAsinBsinC.

    Эту формулу можно использовать в практической работе.

    Практическая работа с проверкой.

    Вариант 1

    Вычислить площадь треугольника ABC

    № 1

    S= *8*15*sin30 о = 4*15* =30

    № 2

    S= , a = 7, b = 20, c = 15

    № 3

    AC 2 = 19, AB 2 + BC 2 = 5 + 14 =19.

    Так как AC 2 = AB 2 + BC 2 , то по теореме, обратной теореме Пифагора B=90 о , поэтому AB BC.

    S = AB * BC, S= * = . S =

    № 4

    1) BCA=90 о , CD AB, CD=

    № 5

    1) Пусть AB=BC=CA=a, тогда S= ;

    2) S= p*r, p = 3a, S = *3a*2 = 3a.

    3) =3a |:a 0; = 3; a = = =4 ;

    4) S = 3a, S = 3*4 =12 . S = 12 .

    За 5 верно выполненных заданий – “5”

    При решении ряда задач значительное место в программе для поступающих в вузы отводится примерам, связанным с определением площадей треугольников.

    Решите задачи из вступительных экзаменов в вузы.

    № 1059.

    Дано: ABCD – произвольный четырёхугольник, AC и BD-диагонали, а – угол между АС и BD.

    Доказать, что S= AC*DB*sinа

    Четырёхугольник ABCD состоит из четырёх треугольников: AOB, BOC, COD и AOD, поэтому

    Показать второй способ из видеофильма. (Следствие. Площадь квадрата и ромба.)

    Теорема: Медианы треугольника делят его на шесть треугольников, площади которых равны.

    Дано: треугольнок ABC, где AA1, BB1, CC1 – медианы.

    Доказательство:

    2. SABB = SBBC, т.к. AB1 = B1C и высота у треугольников ABB1 и BB1C – общая.

    Показать второй способ через кодоскоп.

    Теорема о медианах треугольника (из вступительных экзаменов в вузы).

    Теорема: Медианы треугольника делят его на шесть треугольников, площади которых равны.

    Дано: треугольник ABC, AA1, BB1, CC1 – медианы.

    Доказательство.

    1. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника, то OC=2OC1, OA=2OA, OB=2OB1.

    Домашнее задание. № 1037, 1065, 1202** (дополнительно) – учебник Атанасяна.