Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины

\(f'(x)=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \sqrt\) Т.к. \(0<x\leqslant 42\) , потому что это ширина комнаты площадью 42 м \(^2\) \(\Rightarrow\) при \(0<x<\sqrt\) функция \(f(x)\) убывает, а при \(\sqrt<x\leqslant 42\) – возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться в \(x=\sqrt\) . Но так как \(x\) – целое, а \(6<\sqrt<7\) , то наименьшее значение будет достигаться либо при \(x=6\) , либо при \(x=7\) .

Если \(x=6\) , то есть \(b=6\) , то \(a=7\) . И наоборот, если \(x=b=7\) , то \(a=6\) . Следовательно, размеры комнаты \(6\times 7\) .

2 способ.

Разложим 42 на простые множители: \(42=2\cdot 3\cdot 7\) .

Так как ширина и длина – целые числа, то возможные варианты: \(2\) и \(21\) ; \(3\) и \(14\) ; \(6\) и \(7\) ; \(1\) и \(42\) .

Тогда затрата на плинтус в этих случаях составит: \(280\cdot 2(2+21)\) ; \(280\cdot 2(3+14)\) ; \(280\cdot 2(6+7)\) ; \(280\cdot 2(1+42)\) соответственно. Заметим, что наименьшее значение достигается при размерах комнаты \(6\times 7\) .

Компания изготавливает и продает изделия. Если одно изделие стоит \(2000\) рублей, то реализуется \(1000\) штук изделий. При снижении средней цены одного изделия на \(50\) рублей объемы реализации возрастают на \(50\) штук. При какой цене фирма получит максимальный доход и каково его значение?

(Задача от подписчиков)

Пусть цена изделия снижалась \(k\) раз. Тогда цена изделия равна \(2000-50k\) рублей, а количество изготовленных изделий равно \(1000+50k\) . Тогда доход фирмы равен \[D(k)=(1000+50k)(2000-50k)=50^2(20+k)(40-k)\] Нужно найти наибольшее значение функции \(D(k)\) . Заметим, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в вершине: \[k_0=10.\] Следовательно, максимальный доход равен \[D_=50^2(20+10)(40-10)=2\,250\,000,\] а цена изделия равна \[2000-50\cdot 10=1500.\]

\(1500\) рублей, \(2\,250\,000\) рублей

В январе 2014 года процентная ставка по депозитам в банке составила \(x\%\) годовых, а в январе 2015 года – \(y\%\) годовых. Вкладчик положил на счет в этом банке в январе 2014 года некоторую сумму денег. В январе 2015 года, спустя год после открытия счета, он снял со счета пятую часть от той суммы, которую положил в 2014 году. Найдите значение \(x\) , при котором сумма на счете в январе 2016 года будет наибольшей, если известно, что \(x+y=30\) .

(пробный ЕГЭ 2015)

Пусть вкладчик положил на счет \(A\) рублей. Тогда спустя год, то есть в 2015 году, на счете уже будет \((1+0,01x)A\) рублей. Затем вкладчик снял со счета \(\frac15A\) , следовательно, на счете осталось \((1+0,01x)A-\frac15A\) рублей. Тогда в январе 2016 года на счете будет \((1+0,01y)\big((1+0,01x)A-\frac15A\big)=(1+0,01y)(1+0,01x-0,2)A\) рублей.Выразим \(y=30-x\) и рассмотрим функцию: \[f(x)=(1+0,01(30-x))(1+0,01x-0,2)=\dfrac1\cdot (-x^2+50x+130\cdot 80)\]

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в вершине: \(x_0=\frac=25\) . Таким образом, наибольшая сумма на счете в январе 2016 года будет при \(x=25\) .

Часть денег от суммы 400 млн. рублей размещена в банке под \(12\%\) годовых, а другая часть инвестирована в производство, причем через год эффективность вложения ожидается в размере \(250\%\) (то есть вложенная сумма \(x\) млн. рублей оборачивается в капитал \(2,5x\) млн. рублей), затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью \(0,0022x^2\) млн. рублей. Разность между капиталом и издержками в производстве облагается налогом в \(20\%\) . Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения в банк и вложения денег в производство? Сколько млн. рублей составит эта прибыль?

(Задача от подписчиков)

Пусть в банк было вложено \(A\) млн. рублей, а в производство – \(B\) млн. рублей. Тогда \(A+B=400\) .Тогда на счету в банке через год будет \(1,12A\) млн. рублей.Через год вложенная сумма в производство обернется в \(2,5B\) млн. рублей. На издержки отдадут \(0,0022B^2\) млн. рублей, тогда останется \(2,5B-0,0022B^2\) млн. рублей. Эта сумма облагается налогом в \(20\%\) , то есть остается от этой суммы только \(80\%\) , то есть \(0,8\cdot (2,5B-0,0022B^2)\) .Таким образом, доход по истечении одного года будет равна \[P=1,12A+0,8\cdot (2,5B-0,0022B^2).\] Необходимо найти максимальное значение этого выражения, зная, что \(A+B=400\) . Тогда прибыль будет равна \(P-400\) . Выразим \(A=400-B\) и подставим в \(P\) : \[P=-0,8\cdot 0,0022B^2+0,88B+448.\] Данная функция является квадратичной, ее графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, максимальное значение функция принимает в вершине параболы: \[B_0=\dfrac=250.\] Следовательно, при \(B=250\) выражение \(P\) принимает наибольшее значение: \[P(250)=558.\] Следовательно, максимальный доход равен \(558-400=158\) млн. рублей.Причем \(A=400-250=150\) млн. рублей.