Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5–6 классов
Чтобы начать наш разговор о формах работы, давайте вспомним те виды деятельности, которые характерны именно для наглядной геометрии, а затем поговорим о том, как реализовать их в учебном процессе, и подберем адекватные и наиболее интересные формы организации учебной работы. Эти виды деятельности таковы.
Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире геометрические фигуры (плоские и пространственные) и их конфигурации, симметричные фигуры, развертки многогранников, цилиндра, конуса; приводить примеры аналогов геометрических фигур в окружающем мире.
Моделировать геометрические объекты, используя бумагу, пластилин, проволоку и др. Изготавливать пространственные фигуры из разверток; конструировать орнаменты и паркеты, изображая их от руки, с помощью инструментов, а также используя компьютер.
Статья опубликована при поддержке онлайн-платформы "Учи.ру". Платформа изучения школьных предметов в интерактивной форме. Все задания соответствуют школьной программе, задания смоделированы по ситуациям из реальной жизни. "Учи.ру" анализирует ответы учеников и на основе них формирует последовательность заданий, а также подбирает персональные задания на основе правильных ответов и ошибок. Учитель получает подробные результаты каждого ученика с затраченным временем, количеством выполненных заданий и ошибок. Подробнее по ссылке: https://uchi.ru/.
Рассматривать простейшие сечения пространственных фигур, получаемые путем предметного или компьютерного моделирования, определять их вид; соотносить пространственные фигуры с их проекциями на плоскость.
Изображать геометрические фигуры и их конфигурации, равные и симметричные фигуры от руки и с использованием чертежных инструментов, на клетчатой бумаге с использованием ее свойств.
Измерять с помощью инструментов и сравнивать длины отрезков и величины углов, строить отрезки, заданной длины, и углы, заданной величины; вычислять периметры многоугольников, площади прямоугольников, объемы параллелепипедов; выражать одни единицы измерения длины, площади, объема через другие.
Исследовать и описывать свойства геометрических фигур (плоских и пространственных), используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование, в том числе компьютерное моделирование и эксперимент.
Из этого перечисления с очевидностью следует, что учебный процесс может быть реализован с использованием как индивидуальных, так и групповых форм работы, их разумного сочетания.
Индивидуальные формы работы предпочтительны там, где учащийся должен овладеть навыками построения геометрических фигур, работы по алгоритму. Ниже приводятся практические работы, направленные, прежде всего, на формирование практических умений учащихся, на овладение ими основными терминами и фактами. Все задания целесообразно выполнять на отдельных листах нелинованной или клетчатой бумаги, которые можно хранить в индивидуальной папке ученика и использовать на последующих уроках. Следует приучать учащихся выполнять все построения точно и аккуратно, тонко заточенным карандашом. За небрежно выполненный чертеж можно даже снизить отметку. Время, отводимое на проведение работ, может устанавливаться учителем в зависимости от содержания работы и подготовленности класса.
Групповые формы работы целесообразно выбирать в тех случаях, когда надо что-то обсудить, выдвинуть предположения или проделать большой объем работы, который без потери общей идеи может быть распределен между членами группы. Например, при решении задачи учащиеся должны решить, какие фигуры могут получиться при рассечении четырехугольника на две части прямой. Работая в группе, они обсуждают все возможные варианты прохождения прямой через четырехугольник: прямая пересекает две противоположные стороны, две смежные стороны, проходит через одну вершину, через две вершины четырехугольника. После того, как все случаи разобраны, они должны быть продемонстрированы классу в виде рисунка или практического разрезания; здесь каждый член группы может взять на себя оформление одного из случаев.
Работа в паре предпочтительна там, где выполнение задания требует определенного качества или умения, которым не все учащиеся владеют в одинаковой мере, но которое хотелось бы развить у всех, например — пространственное воображение. Так, например, учащиеся, работая в паре (или группе), обсуждают, как будет проходить плоскость, содержащая диагональ куба, какая при этом фигура получится в сечении, после чего каждый самостоятельно наносит эту плоскость на выполненное им изображение куба, а затем результаты сравниваются и обсуждаются.
Конечно, можно широко использовать и такую форму работы, как взаимопроверка. Например, соседи по парте могут обменяться своими тетрадями или листками и проверить, верно ли выполнено построение, удачен ли выбранный способ, насколько точны измерения, аккуратен ли чертеж. Здесь всегда есть место для обоснованной критики.
Мы уже говорили о том, что учащиеся 5–6-х классов могут отличаться друг от друга по степени развития воображения, навыков конструирования, практических навыков, которые задействуются в геометрии. Это связано с различиями индивидуальных интересов, особенностями проведения свободного времени, семейных укладов. Работая в группах, учащиеся используют свои индивидуальные особенности, обмениваются разными подходами к решению задачи, взаимообогащая друг друга, помогая развить аналогичные качества в одноклассниках.
Практическая работа № 1 «Окружность» (выполняется на нелинованной бумаге)
Отметьте точки А и В. Проведите окружность с центром в точке А, проходящую через точку В. Выполните следующие задания:
1. Измерьте и запишите, чему равен радиус окружности.
2. Проведите диаметр окружности и обозначьте его.
3. Постройте окружность с центром в точке В радиусом 4 см.
Практическая работа № 2 «Ломаная» (выполняется на нелинованной бумаге)
Начертите ломаную из трех звеньев, обозначьте ее. Выполните следующие задания:
1. Измерьте и запишите длину каждого звена ломаной.
2. Вычислите длину ломаной.
3. Постройте отрезок, длина которого равна длине ломаной.
Практическая работа № 3 «Углы» (выполняется на нелинованной бумаге)
Выполните следующие задания:
1. Постройте угол АОВ, равный 40°.
2. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС был прямым, угол СОВ — тупым.
3. Проведите луч ОK — биссектрису угла СОВ.
4. Вычислите величину угла KОА.
Практическая работа № 4 «Прямоугольники» (выполняется на нелинованной бумаге)
Начертите прямоугольник и обозначьте его. Выполните следующие задания:
1. Измерьте и запишите длины сторон прямоугольника.
2. Вычислите периметр прямоугольника.
3. Проведите одну из диагоналей прямоугольника. Измерьте длину диагонали и сравните ее с длиной большей стороны прямоугольника.
4. Измерьте угол между диагональю и большей стороной прямоугольника. Запишите величину этого угла.
Практическая работа № 5 «Треугольники» (выполняется на нелинованной бумаге)
Начертите равнобедренный треугольник и обозначьте его. Выполните следующие задания:
1. Измерьте и запишите величины углов треугольника.
2. Запишите, каким является ваш треугольник: прямоугольным, остроугольным или тупоугольным.
3. Выполните необходимые измерения и найдите периметр треугольника.
Практическая работа № 6 «Площади» (выполняется на клетчатой бумаге)
Постройте прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см. Выполните следующие задания:
1. Разбейте прямоугольник на квадраты со стороной 1 см. Заштрихуйте какой-нибудь квадрат, площадь которого равна 1 см 2 .
2. Вычислите площадь прямоугольника.
3. Начертите еще один прямоугольник, одна сторона которого равна 10 см, а площадь равна площади первого прямоугольника.
Практическая работа № 7 «Многогранники» (выполняется на клетчатой бумаге)
Возьмите модель многогранника и выполните следующие задания:
1. Определите число вершин многогранника.
2. Поставьте многогранник на лист бумаги и обведите нижнюю грань. Начертите таким же образом все его грани. Укажите равные грани (соедините их линиями).
3. Подсчитайте и запишите, сколько у данного многогранника ребер.
Практическая работа № 8 «Прямоугольный параллелепипед» (выполняется на клетчатой бумаге)
Рассмотрите рисунок и выполните задания:
1. Выпишите все невидимые грани параллелепипеда.
2. Известны длины ребер: АВ = 3 см, АD = 6 см, AK = 4 см. Запишите длины ребер MN, NL, DL.
3. Начертите грань АВМK в натуральную величину.
Практическая работа № 1 «Пересекающиеся прямые» (выполняется на нелинованной бумаге)
Проведите прямую а. На прямой а отметьте точку В. Отметьте точку С, не лежащую на прямой а. Выполните следующие задания:
1. Проведите через точку С прямую, перпендикулярную прямой а.
2. Проведите через точку В прямую с, пересекающую прямую а под углом 30°.
3. Надпишите величины трех других углов между прямыми а и с.
Практическая работа № 2 «Параллельные прямые» (выполняется на клетчатой бумаге)
Скопируйте рисунок и выполните следующие задания:
1. Укажите на вашем рисунке величины углов, образовавшихся при пересечении прямых с и b.
2. Проведите какую-нибудь прямую, параллельную прямой с.
Практическая работа № 3 «Расстояние» (выполняется на нелинованной бумаге)
Проведите прямую а и отметьте точку В, не лежащую на этой прямой. Выполните следующие задания:
1. Определите расстояние от точки В до прямой а.
2. Проведите прямую с, параллельную прямой а. Найдите расстояние между прямыми а и с.
Практическая работа № 4 «Окружности» (выполняется на нелинованной бумаге)
Отметьте точки А и В, расстояние между которыми равно 5 см. Выполните следующие задания:
1. Постройте окружность с центром в точке А радиусом 2 см.
2. Проведите окружность с центром в точке В, пересекающую первую окружность. Измерьте и запишите, чему равен ее радиус.
3. Постройте две окружности с центром в точке В, касающиеся первой окружности. Запишите, чему равны их радиусы.
Практическая работа № 5 «Осевая симметрия» (выполняется на нелинованной бумаге)
Проведите прямую k и отметьте точки А, В и С, не лежащие на этой прямой. Выполните следующие задания:
1. Постройте точки, симметричные точкам А, В и С относительно прямой k. Обозначьте их.
2. Запишите пары точек, симметричных относительно прямой k.
3. Начертите окружность с центром в точке А, проходящую через точку В. Постройте окружность, симметричную ей относительно прямой k.
Практическая работа № 6 «Треугольник» (выполняется на нелинованной бумаге)
Постройте равнобедренный треугольник, если его боковые стороны равны 5 см, а угол между ними равен 40°. Вычислите величины двух других углов построенного треугольника.
Практическая работа № 7 «Параллелограмм» (выполняется на нелинованной бумаге)
Постройте какой-нибудь параллелограмм, стороны которого равны 3 см и 5 см. Обозначьте его АВСD. Выполните следующие задания:
1. Запишите длину каждой стороны параллелограмма. Вычислите его периметр.
2. Измерьте и запишите величину угла СDА. Укажите равный ему угол параллелограмма.
3. Постройте центр симметрии параллелограмма и обозначьте его буквой О.
Практическая работа № 8 «Призма» (выполняется на клетчатой бумаге)
Скопируйте пятиугольную призму и выполните следующие задания:
1. Закрасьте основания призмы.
2. Выпишите видимые боковые ребра призмы.
3. Длины ребер оснований призмы равны 10 см, боковые ребра — 15 см. Найдите длину проволоки, необходимой для изготовления каркаса призмы.
Устные упражнения на развитие воображения
Упражнение «Пять предметов». Представьте пять предметов меньше вашего мизинца (колпачок ручки, горошина и т.д.). Представьте пять предметов больше автобуса (кит, поезд и т.п.). Представьте пять предметов, имеющих форму шара.
Упражнение «Анализ чертежа». Рассмотрите чертеж. Из каких фигур он состоит? Каково их взаимное расположение? Мысленно уберите с чертежа одну из фигур, «верните» ее назад. Проделайте это для остальных фигур. Как можно построить такой чертеж? В каком порядке будут появляться фигуры на вашем чертеже? Предложите несколько вариантов построения.
Упражнение «Зрительный след». Если, посмотрев на некий объект, вы закроете глаза, то его образ автоматически сохранится в вашей памяти еще на какое-то время. Постарайтесь соединить зрительную память с вашим мысленным представлением. Например, посмотрите на развертку куба, закройте глаза и рассмотрите картинку, сохраненную в памяти. Когда образ потускнеет, откройте глаза, посмотрите на развертку, снова закройте глаза и снова посмотрите на ее образ в вашей памяти. Повторите это несколько раз в удобном для вас темпе, пока хотя бы на секунду не вырисуется четкая картина. После этого постарайтесь уже сознательно воспроизвести мысленный образ развертки. А теперь усложним задачу: аналогично предыдущему, будем рассматривать процесс сворачивания развертки и воспроизводить его по памяти.
Упражнение «Геометрические тела». Представьте куб. Не старайтесь сразу же создать образ: вначале подробно изучите взаимное расположение граней, ребер, вершин. Мысленно манипулируя кубом, рассмотрите его со всех сторон, в том числе и изнутри. Постарайтесь получить ощущение объемности. Проделайте это с параллелепипедом, призмой, пирамидой, додекаэдром, октаэдром, икосаэдром. Выполните аналогичное задание для сферы и шара.
Упражнение «Фигуры вращения». Представьте себе, что проволочная модель прямоугольника вращается вокруг одной из его сторон. Пусть скорость вращения сначала небольшая, а затем увеличьте скорость вращения. Какую фигуру опишет прямоугольник? Выполните это упражнение для прямоугольного треугольника, вращающегося вокруг одного из катетов, вокруг гипотенузы; окружности, вращающейся вокруг диаметра; ромба, вращающегося вокруг оси симметрии.
Упражнение «Образы идей». Вообразите себе идею симметрии. Это определенный образ чего-то симметричного, или вы способны создать абстрактный образ Симметрии, не представляя себе ничего конкретного? Много ли в нем деталей? Проделайте это с идеями: равенства, параллельности, перпендикулярности, пересечения, измерения.
Исследования и эксперименты
«Угол с вершиной на окружности». Постройте окружность и проведите ее диаметр АВ. Постройте угол АСВ с вершиной С, лежащей на окружности. Каким: острым, прямым или тупым, является этот угол? Постройте и измерьте еще два угла с вершинами на окружности, «опирающиеся» на диаметр. Какой вывод можно сделать?
«Сколько диагоналей у многоугольника». Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так: 1) найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин (начертите семиугольник и проведите все диагонали из одной вершины); 2) умножить это число на число вершин; 3) разделить результат на 2 (объясните, почему). Сколько диагоналей у семиугольника? стоугольника? У какого многоугольника 9 диагоналей?
«Какие многогранники могут получиться при разрезании куба плоскостью». Вылепите куб из пластилина и, выбирая разные направления, разрежьте его на две части. Нарисуйте куб и покажите для каждого случая, как проходит по кубу линия разреза.
«Пересекающиеся прямые». Изобразите все случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости (их 4). Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь три прямые? четыре прямые? пять прямых?
«Сумма углов треугольника». Начертите на листе бумаги 5–6 различных треугольников. Измерьте величины углов каждого треугольника. Для каждого треугольника найдите сумму его углов. Выскажите предположение о сумме углов любого треугольника.
«Сколько осей симметрии у правильных многоугольников». Сколько осей симметрии у правильного треугольника? четырехугольника? пятиугольника? десятиугольника? Нарисуйте эти фигуры от руки и проведите их оси симметрии. Сколько осей симметрии у правильного стоугольника? девяностодевятиугольника? Запишите выражение для вычисления числа осей симметрии правильного n-угольника.
Задания прикладного характера
1. Изготовьте все развертки куба (их 11).
2.Сделайте развертки правильных многогранников и склейте эти модели.
3. Вылепите из пластилина: куб, шар, цилиндр, конус, треугольную пирамиду, треугольную призму.
4. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь: классной комнаты, школьного здания, школьной территории.
5. Выполнив необходимые измерения, найдите расстояние от своего места в классе до окна, доски, двери, ближайшей стены.
Темы проектных работ
1. План школьной территории
2. Этот симметричный мир
3. Геометрия города будущего
4. Как измеряли наши предки
5. Правильные многогранники в природе и творениях человека
6. Геометрия на клетчатой бумаге
В отличие от арифметического, геометрический материал не так существенно связан с формированием и отработкой опорных умений, составляющих базу и основу для дальнейшего продвижения по курсу, поэтому было бы неверно проводить контроль за его усвоением так же жестко. Здесь целесообразно после изучения законченного блока взаимосвязанных вопросов проводить тематические проверочные работы, например — в форме теста. За их выполнение выставляется обычная отметка. Учитель может выставлять отметки по своему усмотрению, принимая во внимание все педагогические функции отметки, учитывая и индивидуальные особенности учащихся, и особенности выполнения конкретных заданий, и характер изучаемой темы. Примеры таких тематических тестов приводятся ниже.
Предлагаемые тесты направлены на проверку владения основным понятийным аппаратом по конкретной теме. Чтобы проверка носила комплексный характер, она должна содержать и проверку владения практическими навыками построения фигур и выполнения измерений. Для этого тесты могут быть дополнены заданиями практического характера, можно воспользоваться практическими работами, приведенными выше, или их аналогами. Таким образом, тест будет состоять из двух частей: теоретической и практической.
Для итоговой проверки и оценки усвоения материала по наиболее важным вопросам в конце изучения курса также можно воспользоваться тестом. Такая форма проверки позволяет охватить большой объем материала и может содержать задания как теоретического, так и практического характера. Это может стать хорошим мониторингом готовности к изучению систематического курса геометрии, предстоящего будущим семиклассникам.
Итоговый тест, приведенный в конце лекции, состоит из двух частей. Часть 1 содержит задания, проверяющие владение учащимися основными понятиями курса, умение «читать» геометрический чертеж, часть 2 — задания, проверяющие владение практическими навыками построения геометрических фигур и конфигураций.
В части 1 представлены задания с двумя типами ответов: с выбором ответа, где учащийся должен выбрать один верный, на его взгляд, вариант ответа из трех предложенных, и с кратким ответом, когда учащийся должен записать полученный им в ходе решения задачи ответ в отведенную для этого строку. Все необходимые вычисления могут выполняться устно или на черновике. Во всех заданиях, связанных с вычислением геометрических величин, при записи ответа учащийся должен указать единицы измерения, при этом перевода одних единиц в другие не требуется, но если единицы указаны неправильно или дано только числовое значение, то выполнение этого задания не может быть засчитано как верное.
Практическая часть работы выполняется на отдельном листе нелинованной бумаги. Построения должны быть выполнены с помощью чертежных инструментов (если не оговорено отдельно) точно, аккуратно, тонко заточенным карандашом. При этом никаких обоснований или дополнительных объяснений построений, а также записи с использованием символов от учащихся не требуется. На чертеже должны оставаться все вспомогательные линии, которые необходимо провести в ходе выполнения построений. Это дает учителю возможность проанализировать степень овладения алгоритмом построения. Если необходимые при построении линии на чертеже отсутствуют, это свидетельствует о том, что оно, скорее всего, подгонялось, выполнялось на глаз, выполнение задания засчитано быть не может.
Каждое верно выполненное задание и первой, и второй частей оценивается одним баллом; при этом задания 11 и 14 состоят из двух подзаданий, за выполнение каждого из которых выставляется 1 балл. Таким образом, максимальное число баллов, которое может быть получено за выполнение теста, равно 16. Можно предложить такую систему оценивания: ученик получает отметку «5», если он набрал 14 и более баллов, отметку «4», если набрал не менее 11 баллов, отметку «3» — не менее 8 баллов.
Литература
1. Математика: Контрольные работы для 5– 6 кл. общеобр. учреждений / Л.В. Кузнецова и др. — М.: Просвещение, 2005.
2. Математика: учеб. для 5 кл. / Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — М.: Просвещение, 2008.
3. Математика: учеб. для 6 кл. / Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. — М.: Просвещение, 2008.
1. Не выполняя измерений, для каждого отрезка укажите его длину.
А. ______________________________________________ Б. ______________________________________________ В.______________________________________________
1) 36 мм 2) 4 см 3) 2 см 8 мм
2. Выполните необходимые измерения и найдите длину ломаной.
3. Радиус окружности равен 6 см. Чему равен ее диаметр?
4. Отметьте на прямой АВ точки C и D так, чтобы точка С лежала на отрезке АВ, а точка D лежала на луче ВА, но не на отрезке АВ. В каком порядке расположены эти 4 точки на прямой?
5. Рассмотрите рисунок. Выберите неверное утверждение.
1) АВ — диаметр окружности.
2) Точка пересечения прямых АВ и CD лежит вне круга с центром в точке О.
3) Длина отрезка АВ больше длины отрезка CD.
4) Длина ломаной ОDK меньше длины отрезка ОK.
6. Измерьте и запишите величину данного угла.
7. Угол, равный 145°, является.
1) острым 2) прямым 3) тупым 4) развернутым
8. Угол АОС равен 120°. Найдите величину угла ВОС.
1. Найдите периметр треугольника со сторонами, равными 2 см, 3 см 7 мм, 4 см 5 мм.
2. Какие высказывания являются верными, а какие неверными? (Верные высказывания отметьте знаком «+», неверные — знаком «–».)
1) ABCDE — шестиугольник.
2) АС — диагональ многоугольника ABCDE.
3) Диагонали АС и AD делят многоугольник ABCDE на два треугольника.
4) Диагональ BE делит многоугольник ABCDE на треугольник АВЕ и четырехугольник BCDE.
3. Какой из данных треугольников является тупоугольным?
4. Какой треугольник из задания 3 является равнобедренным остроугольным?
5. Вычислите периметр равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковыми сторонами, равными 4 см 5 мм.
6. АВСD — прямоугольник. Какое из данных высказываний является неверным?
1) ОА = ОВ = ОС = OD
3) ∆ ABС — прямоугольный
4) ∆ ABO = ∆ OBC.
7. Сколько треугольников на рисунке к заданию 6?
8. Вычислите периметр квадрата со стороной 4 см 6 мм.
9. Вычислите площадь прямоугольника со сторонами, равными 5 см и 4 см 5 мм.