Представление натуральных чисел диагональной квадратичной формой специального вида Андреева Татьяна Юрьевна
Актуальность темы диссертации. В современной теории чисел важное место отводится квадратичным аддитивным задачам - задачам о представлении натурального числа в виде суммы четырех слагаемых специального вида.
Клоостерман в 1926 году с помощью модулярных функций и сингулярных рядов в [1] получил асимптотическую формулу для числа представлений положительного целого п в виде ах 2 + by 2 + cz 2 + dt 2 . Он показал, что
2 Ґ " \
для любого положительного е, где
1» Sa p,qi $ьрд-> ^ср, —-—>0. log log и
И здесь же он привел точные формулы для числа представлений чисел формами х, 2 + х 2 +а(х 2 + х 2 ) при а= 3, 5, 6, 7. При этом, если а=3, сингулярный ряд дает точное значение для числа представлений соответствующей формой. В случае а - 5, 6,7 в формулы Клоостермана входят дополнительные члены, которые он определил как коэффициенты разложений в степенной ряд произведений некоторых тэта-функций Якоби.
Т. Эстерманн [2] рассмотрел уравнение
аД 2 + a2 h% + а$ + a^h 2 = к,
в положительных целых h\,ht, h>, Ы,н |о„^1 , аз, а4 выполняется одно из следующих условий:
(і) Два из них положительны и два отрицательны;
(ii) а\ а2 а2 а4 a3 a4 |
D^B(q), B(q) = r)\e \
S(fl ,am r) = 2 ^, в случае (і),
У-І -да
В [3], [4] Чок рассматривал уравнение p(xf+xl)-q(x%+xl) = а, в целых xi, х2 , *з> Х4, которое является частным случаем уравнения, рассмотренного Эстерманном в [2], и расширил уже имеющиеся результаты с помощью метода К. Хооли, см. [3], [4].
Предполагая, что p(xf +x\) 1 , (p,q)
l, р > 0, q > 0, q - нечетное,
(2pq, л)=1 и 0*\a\ = o(h 2 ), когда A—>oo и при —»(pqf, когдаpq —wo, для
числа решений S, с условием (xj + х],а) = 1, была получена оценка:
S -!L.lLw > 0 и xi ^ 0 - целых. Также мы рассматриваем это уравнение с дополнительным условием на переменные: (х3 2 + х],к)-1 и О и х4 > 0 - целых,
а также получить оценки для числа решений этого уравнения с дополнительным условием на переменные (x*+xl,k) = l и (х* + x],k) = D, где D - натуральное, D\k и а А Ь г D n « к.
Основными задачами диссертационного исследования являлись:
1) Получение асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения 4a(xf +x\) + b О и хц > О - целых.
Получение асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения 4a(xl + xl) + b(xl+xl) = k, с дополнительным условием на переменные (x]+xl,k) = lt при к, а, Ъ -натуральных, удовлетворяющих условиям (2a,b)=l, (2ab, )=1, a*b 3 «k,k = b (mod 4), хь *2> *з > 0 и х» > 0 - целых.
Получение асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения 4a(xl+x\) + b(xl +х\) = к, с дополнительным условием на переменные (х\ +х\,к) = D, при к, a, b, D - натуральных, удовлетворяющих условиям (2а,Ь)=1, Цк, (2ab, к)= 1, a V D n «k,k = b (mod 4), х,, хъ х3 > О и х4 > 0 - целых.
Научная новизна. Результаты, доказываемые в диссертации, являются новыми.
Метод исследования. В работе применяется метод Хооли-Чока [3], [4].
Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам. Кроме того, результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории чисел.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на кафедре теории чисел МПГУ, на научно-практическом семинаре "Современ-
ные проблемы теории чисел" МГУ, на научной конференции "Ломоносовские чтения" 2006 года и V Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006" в г. Севастополе.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце реферата.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 59 страницах печатного текста, состоит из введения, 4 глав. Диссертация содержит список литературы, состоящий из 26 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.