Интегрированный урок в 11-м классе по теме: "Дифференциальные уравнения показательного роста и показательного убывания"

Начинает урок учитель математики, объясняя смысл темы: Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной является функция от одного неизвестного переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков.

Термин “дифференциальные уравнения” был предложен Г.Лейбницем. Первые исследования уравнений были проведены в конце XVII века в связи с изучением механики и некоторых геометрических задач.

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид:

F’(x) = f(x) … (1), где f(x) – данная функция, а F(x) – решение этого уравнения.

Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:

где k – const причем k может быть: k > 0 или k < 0.

Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением уравнения … (2), является любая функция вида: f(x) = Ce …(3), где C– const. Т.к. C – произвольно, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Докажем, что других решений, кроме функций вида … (3) уравнение … (2) не имеет. Для этого рассмотрим произвольную функцию f, удовлетворяющую уравнению … (2) и вспомогательную функцию q(x) = f(x) · e … (4). Найдем ее производную.

q’(x) = f’(x) · e – k · e · f(x) = kf(x) · e – ke f(x) = 0.

T.к. q’(x) = 0, то q(x) = С, то q(x) = C. С – const при всех x. Из равенства … (4) получаем f(x) · e = С.

Отсюда f(x) = = C · e

Смысл дифференциального уравнения … (2) заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке.

Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону.

Объяснение продолжает учитель физики. Она рассматривает задачу 1 о радиоактивном распаде вещества: Если m’(t) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.

m’(t) = – kx(t) … (1)

Значит, решением уравнения … (1) является функцией m’(t) = Сe . С найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:

Промежуток времени T, через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют “периодом полураспада”. Зная Т, можно найти k:

Логарифмируя по основанию е, получаем

Например, для радия Т 1550 лет. Поэтому, k 0,000447

Следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы mo останется (вычисления проводит учитель математики).

m(10 ) mo · e mo · e 0,6 · 10 mo

Пусть e = y, ln y = – 447, y = 7,37 · 10 = 0,7 · 10

lg y = – 447 lg e = – 447 · 0,4343 = – 194,1321 = – 195 + 0,8679.)

Задача 2. От mмг радия С через t мин. радиоактивного распада остается nмг. Найдите период полураспада радия С, т. е. через сколько минут останется 0,5 mмг радия С.

m(t) = nмг

m(t) = mo · e ,

n = m · e ,

Далее решение ведет учитель математики:

Зная, что через Т останется 0,5 тмг радия С, имеем

– ln T = t(-ln2),

В урок включается учитель биологии. У нее интересный материал о размножении бактерий.

m’(t) = km(t), где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнения являются функции m(t) = C · e . Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса mo бактерий известна, тогда m(t) = mo · e .

Задача 4. Культуре из 100 бактерий представляется возможность размножаться при благоприятных условиях. Через 12 часов число бактерий достигло 500. Сколько бактерий будет через 2 суток после начала опыта?

N(t) = 500

N(t) = Noe ,

500 = 100 · e ,

12k = ln 5

Значит: N (48) = 100e = 100e = 100 · 626 = 62600

Вычисления проводит учитель математики.

ln y = 4ln 5 · lg e = 4 · 1,6094 · 0,4343 = 2,7958

В работу включается учитель физики.

Задача 5. Два тела имеют одинаковую температуру – 100 o . Они вынесены на воздух, его температура 0 o . Через 10 мин. температура одного тела стала 80 o , а второго – 64 o . Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25 o .