Линейные операции над матрицами: сложение и умножение матриц – теория и примеры

Матрицы изучаются в каждом ВУЗе. Основные операции – это сложение и умножение матриц. Для таких действий необходимо знать свойства матриц и несколько важных определений. Об этом и поговорим в данной статье.

Сложение матриц

Сумма двух матриц и размером x называется матрица того же размера, каждый элемент которой равняется сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, то есть и обозначается .

Если же , тогда – разница матриц.

Любые действия: вычитание, сложение или умножение матриц называются линейными действиями над матрицами.

У матриц есть такие свойства:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. x = – в случае, если число , то есть коэффициент 1 можно отпустить, как в алгебре.
6. .
7. .
8. .

Здесь обозначено – – нулевая матрица, а – противоположная матрице .

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Умножение матриц

Иногда в работе с таблицами (матрицами) приходится совершать определённые действия. Сложение мы рассмотрели, а теперь рассмотрим умножение матриц..

Матрица (-1) – противоположна матрице , и обозначается . Действие сложения применяется только для тех матриц, которые одного и того же размера.

Умножение матриц имеет такие свойства:

1. – произведение матриц ассоциативно;
2. , где – число;
3. x = – произведение матриц дистрибутивно;
4. .

Произведение матрицы размером x на матрицу размером x называется матрица размером x , элементы которой равняются сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -того столбца матрицы , то есть:

Из структуры элементов понятна необходимость согласованности матриц и : каждому элементу в -той строке матрицы (первого сомножителя) и в -том столбце матрицы (второго сомножителя). Число строк и матрицы равняется числу строк первого сомножителя, а число столбцов – числу второго сомножителя.

Примеры на сложение и умножение матриц

Как уже описывалось ранее, сложение матриц производится тогда, когда матрицы одинаковые по размерам. Рассмотрим несколько примеров.

Решение:

Теперь находим – x и получим результат:

Рассмотрим ещё один пример, но более большой. Будьте внимательны и не спешите, так как очень часто можно ошибиться в знаках:

Приведём первый пример, на котором рассмотрим умножение матриц, где становится понятно, как составлять матрицы и какие операции с ними проводятся:

Шахтёры выполняют два вида работ: выемка пород и крепление. Эти работы при постоянной площади поперечного сечения могут измеряться в погонных метрах. Допустим, что в течение суток каждая из трёх смен добились таких результатов:

Смены Выемка (в м.) Крепление (в м.) первая смена вторая смена третья смена

Эти результаты можно записать в виде матрицы размером :

Возьмём этот пример при подсчёте денежных затрат на выполнение робот в шахте. В матрице, которая у нас уже есть, записаны результаты работы за сутки каждой смены. Как уже упоминалось выше, результат работ измеряется в погонных метрах.

Заказчику необходимо знать, какую сумму придётся выделить на зарплату работникам, а какую на капитальные затраты. Это представим с виде матрицы расценок:

где первый столбец , – нормы зарплаты трудящихся: за 1 погонный метр по выемке породы, и, соответственно, за 1 погонный метр по креплению.

Второй столбец: , – капитальные затраты за 1 погонный метр выемки и за 1 погонный метр крепления.

Общие затраты на зарплату для каждой смены равняются произведению пройденного количества метров для каждого вида работ на определённые нормы расценок. Обозначим через сумму средств, которую заработала смена ( ). Аналогично подсчитываются капитальные затраты для смены по выемке и креплению.

Получим таблицу затрат:

Смены Затраты на зарплату по выемке и креплению Капитальные затраты по выемке и креплению первая смена вторая смена третья смена

Эти данные запишем в виде новой матрицы затрат x , что получена из матриц и при помощи действий, которые называются умножение матриц, и обозначают:

Для умножения матрицы размером x на матрицу размером x необходима её согласованность, то есть, чтобы число столбцов матрицы (первого сомножителя) совпадало с числом строк матрицы (второго сомножителя). В приведенном примере матрица согласована с матрицей (для каждого вида работ – нормы расценок). Однако, в примере, который представлен выше, матрица не согласована с матрицей .

Найти произведение матриц и , если:

Решение:

У матрицы размер x , а размер матрицы – x . У матрицы 2 столбца, а у матрицы 2 строки, а это значит, что матрицы согласованы, так как можно умножать матрицу на матрицу . В результате получим матрицу размером x , то есть:

Убедитесь, что для данных матриц:

Обратите внимание, что в данном случае

Посмотрите, что получается, когда даны матрицы:

Видите, какие иногда получаются матрицы после решения? В нашем случае произведение двух ненулевых матриц дал нулевую матрицу, и, кроме этого,