Функция y = ах2, ее график и свойства - Квадратичная функция и ее график - Квадратичная функция

Цель: рассмотреть свойства и график простейшей квадратичной функции у = ах2.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

1. Разложите многочлен на множители.

2. Сократите дробь.

1. Разложите многочлен на множители.

2. Сократите дробь.

III. Изучение нового материала

Одной из наиболее распространенных и изученных функций является квадратичная функция у = ах2 + bх + с, где х - независимая переменная; а, b и с- некоторые числа (причем а ≠ 0).

Например, перемещение х тела при движении с ускорением а описывается квадратичной функций где x0 и V0 - положение и скорость тела в начальный момент времени t = 0.

С частным случаем квадратичной функции у = х2 (где а = 1, b = 0, с = 0) школьники уже знакомы. Графиком этой функции является парабола. Продолжим изучение квадратичных функций. Сначала ограничимся изучением функции у = ах2.

Составим таблицу значений и в одной системе координат построим графики функций

Отметив на координатной плоскости точки, приведенные в таблице, построим графики данных функций. Видно, что при каждом значении х значения функции у = 1/2х2 в два раза меньше значений функции у = х2, а значения функции у = 2х2 в два раза больше значений функции у = х2. Другими словами, график функции у = 1/2х2 можно получить сжатием в два раза вдоль оси ординат графика функции у = х2. График функции у = 2х2 можно получить растяжением в два раза вдоль оси ординат графика функции у = х2.

Вообще говоря, график функции у = ах2 можно получить из параболы у = х2 растяжением вдоль оси ординат в а раз при а > 1 и сжатием вдоль оси ординат в 1/a раз при 0 < а < 1. График функции у = ах2 так же, как и график функции у = х2, называют параболой.

Приведем свойства функции у = ах2 при а > 0:

1. Область определения функции - промежуток (-∞; ∞).

2. Если х = 0, то у = 0. Следовательно, график проходит через начало координат.

3. Если х ≠ 0, то у > 0. Поэтому график расположен в верхней полуплоскости.

4. Функция четная, т. е. противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции у(-х) = у(х). График функции симметричен относительно оси ординат.

5. Функция убывает в промежутке (-∞; 0] и возрастает в промежутке [0; ∞).

6. Функция ограничена снизу, у ≥ 0. Наименьшее значение у = 0 функция принимает при х = 0, наибольшего значения функция не имеет.

7. Область значений функции - промежуток [0; +∞).

Обсудим теперь свойства и график квадратичной функции у = ах2 при a < 0.

Составим таблицу значений и в одной системе координат построим графики функций у = 1/2х2 и у = -1/2х2.

Отметим точки, приведенные в таблице, и построим графики данных функций. Видно, что при каждом значении х значения функции у = -1/2х2 противоположны по знаку значениям функции у = 1/2х2. Поэтому график функции у = -1/2х2 получается из графика функции у = 1/2х2 с помощью симметрии относительно оси абсцисс.

Теперь легко сформулировать свойства функции у = ах2 при а < 0:

1. Область определения функции - промежуток (-∞; ∞).

2. Если х = 0, то у = 0. Следовательно, график проходит через начало координат.

3. Если х ≠ 0, то у < 0. Поэтому график расположен в нижней полуплоскости.

4. Функция четная, у(-х) = y(x). График функции симметричен относительно оси ординат.

5. Функция возрастает в промежутке (-∞; 0] и убывает в промежутке [0; ∞).

6. Функция ограничена сверху, у ≤ 0. Наибольшее значение у = 0 функция принимает при х = 0, наименьшего значения функция не имеет.

7. Область значений функции - промежуток (-∞; 0].

Обсудим монотонность функции у(х) = ах2.

Область определения такой функции - все значения х. Рассмотрим два произвольных значения х2 и х1, такие, что х2 > x1. Найдем значения функции в этих точках: у(х2) = ах22 и у(х1) = ах12 и сравним их. Для этого определим знак разности у(х2) - у(х1) = ах22 – ах12 = а(х2 + х1)(х2 – х1).

Так как х2 > x1, то разность х2 – х1 положительна. Поэтому разность у(х2) - у(х1) определяется знаком произведения а(х2 + х1). Так как сумма х2 + х1 может иметь различный знак, то в области определения выделим два промежутка.

а) Для промежутка х ∈ [0; +∞) сумма х2 + х1 > 0. Поэтому знак разности у(х2) - y(х1) совпадает со знаком коэффициента а.

При а > 0 разность у(х2) - y(x1) > 0, т. е. у(х2) > у(х1) и функция возрастает.

При а < 0 разность у(х2) – y(х1) < 0 т. е. у(х2) < у(х1) и функция убывает.

б) Для промежутка х ∈ (-∞; 0] сумма х2 + x1 < 0. Поэтому знак разности у(х2) - y(х1) противоположен знаку коэффициента а.

При а > 0 разность у(х2) - y(х1) < 0, т. е. у(х2) < y(х1) и функция убывает.

При а > 0 разность у(х2) - y(х1) > 0, т. е. у(х2) > y(х1) и функция возрастает.

Построим график функции

Область определения функции задается условием 2х - 4 ≠ 0, т. е. х ≠ 2. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим ее. Получаем:

Построим параболу у = 1/2х2 и удалим из нее точку с абсциссой х = 2 (показана стрелками).

При каких значениях а парабола у = -1/2х2 и прямая у = 3х + а не имеют общих точек?

Предположим, что данные линии имеют общую точку. Тогда ее координаты удовлетворяют системе уравнений

Попробуем решить эту систему. Так как в уравнениях левые части одинаковы, то равны и правые.

Получаем уравнение -1/2х2 = 3х + а, или 0 = х2 + 6х + 2а. На самом деле данные линии общих точек не имеют. Это означает, что полученное квадратное уравнение решений не имеет. Поэтому его дискриминант D = 36 - 8а < 0, откуда а > 36/8 = 4,5.

На рисунке приведена иллюстрация задачи. Очевидно, прямая у = 3х + а пересекает ось ординат в точке у = а. При увеличении а прямая смещается вверх параллельно самой себе. Выполненные расчеты показывают, что прямая при а < 4,5 пересекает параболу в двух точках (линия 1), при а = 4,5 касается параболы в одной точке (линия 2), при а > 4,5 не имеет общих точек с параболой (линия 3).

IV. Контрольные вопросы

1. Какая функция называется квадратичной?

2. Как называют график квадратичной функции?

3. Приведите основные свойства и график функции у = ах2 при а > 0.

4. Приведите основные свойства и график функции у = ах2 при а < 0.

5. Как из графика функции у = x2 получить график функции у = ах2 при а > 0.