VI Олимпиада по геометрии им. И.Ф. Шарыгина. Заочный тур

Приводим условия задач заочного тура VI геометрической олимпиады им. И.Ф. Шарыгина. В олимпиаде могут участвовать школьники 8–11-х классов. В списке задач, приведенном ниже, после порядкового номера каждой задачи указано, учащимся каких классов (на момент проведения олимпиады) она предназначена. Впрочем, можно решать также задачи и для более старших классов (решенные задачи для младших классов при подведении итогов не учитываются). Решения задач на русском языке должны быть посланы не позднее 1 апреля 2010 года. Рекомендуется присылать решения по электронной почте в форматах pdf, doc или ipg на адрес geomolymp@mccme.ru. При этом, во избежание потери работы нужно соблюдать следующие правила. 1. Каждую работу следует посылать отдельным письмом. 2. Если работа содержится в нескольких файлах, желательно присылать их в виде архива. 3. В теме письма нужно написать: «Работа на олимпиаду им. Шарыгина», а в тексте привести следующие сведения об участнике: — фамилию, имя, отчество; — полный почтовый адрес с индексом, телефон, e-mail; — класс, в котором сейчас учится школьник; — номер и адрес школы; — ФИО учителей математики и/или руководителей кружков. Если у вас нет возможности прислать работу в электронном виде, пришлите ее простой бандеролью (или принесите сами) в обычной тетради, не сворачивая тетрадь в трубку, по адресу: 119002, Москва, Г-002, Большой Власьевский пер., д. 11, МЦНМО. На олимпиаду им. И.Ф. Шарыгина. На обложке тетради обязательно укажите все сведения, перечисленные выше в пункте 3. Решение каждой задачи начинайте с новой страницы: сначала надо переписать условие, затем записать решение, причем старайтесь писать подробно, приводя основные рассуждения и выкладки, делая аккуратные чертежи. Если задача на вычисление, в конце ее решения должен быть отчетливо выделенный ответ. Пишите аккуратно, ведь вы же заинтересованы в том, чтобы вашу работу можно было понять и справедливо оценить! Если вы пользуетесь в решении какой-то известной теоремой или фактом, приведенным в задаче из школьного учебника, можно просто на это сослаться (чтобы было понятно, какую именно теорему или факт вы имеете в виду). Если же вам необходим факт, не встречающийся в школьном курсе, его обязательно надо доказать (или сообщить, из какого источника он взят). Ваши работы будут тщательно проверены, и вы получите (не позднее середины мая 2010 г.) ответ жюри. Победители заочного тура — учащиеся 8–10-х классов будут приглашены на финальный тур, который состоится летом 2010 года в г. Дубна под Москвой. Победители заочного тура — выпускники школ получат грамоты оргкомитета олимпиады.

Задачи

1. (8-й класс.) Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая — какой-то из биссектрис, а третья — какой-то из медиан? 2. (8-й класс.) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы AA 1 и BB 1 пересекаются в точке I. Пусть O — центр описанной окружности треугольника CA 1 B 1 . Докажите, что OI⊥AB. 3. (8-й класс.) Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что ∠AXB= ∠A'C'B' + ∠ACB и ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC. Докажите, что четырехугольник XA'BC' — вписанный. 4. (8-й класс.) Диагонали вписанного четырех­угольника ABCD пересекаются в точке N. Окружности, описанные около треугольников ANB и CND, повторно пересекают стороны BC и AD в точках A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Докажите, что четырехугольник A 1 B 1 С 1 D 1 вписан в окружность с центром N. 5. (8–9-е классы.) На высоте BD треугольника ABC взята точка E такая, что ∠AEC = 90°. Точки O 1 и O 2 — центры описанных окружностей тре­угольников AEB и CEB; F, L — середины отрезков AC и O 1 O 2 . Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой. 6. (8–9-е классы.) На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты точки M и N (M лежит между B и N) такие, что ∠MAN = 30°. Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN. 7. (8–9-е классы.) Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O 1 и O 2 — центры описанных окружностей тре-угольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что O 1 M = O 2 M. 8. (8–10-е классы.) В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I b и I c — центры вписанных окружностей треугольников ABH и CBH; L — точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI b I c . 9. (8–10-е классы.) Назовем точку внутри тре­угольника хорошей, если три чевианы, проходящие через нее, равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечетно. Чему оно может быть равно? 10. (8–11-е классы.) Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что 11. (8–11-е классы.) Выпуклый n-угольник разрезан на 3 выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого — больше, чем n, у третьего — меньше, чем n. Каковы возможные значения n? 12. (9-й класс.) В прямоугольном треугольнике ABC AC — больший катет, CH — высота, проведенная к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восстановлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите: а) что B'M BC; б) AK — касательная к окружности. 13. (9-й класс.) В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC. На диагонали BD выбрана точка K такая, что ∠AKB + ∠BKC = ∠A + ∠C. Докажите, что AK∙CD = KC∙AD. 14. (9–10-е классы.) На стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно. Докажите, что S ABCD ≥ 3 SBCM . 15. (9–11-е классы.) В остроугольном треугольнике ABC AA 1 , BB 1 и CC 1 — высоты. Прямые AA 1 и B 1 C 1 пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A 1 KC 1 и A 1 KB 1 вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите: а) что сумма радиусов этих окружностей равна стороне BC; б) 16. (9–11-е классы.) В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE. 17. (9–11-е классы.) Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведенным из одной вершины, и медиане, проведенной из другой вершины. 18. (9–11-е классы.) На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω1 и ω2 с центрами O 1 и O 2 , которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O 1 D и O 2 E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G. Докажите, что прямая FG проходит через середину AC. 10. (9–11-е классы.) Четырехугольник ABCD вписан к окружность с центром O. Точки P и Q диаметрально противоположны C и D соответственно. Касательные к окружности в этих точках пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B — между A и F). Прямая EO пересекает AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает AD и BD в точках U и V. Докажите, что XV = YU. 20. (10-й класс.) Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C 1 , A 1 , B 1 соответственно. Пусть A 2 , B 2 — середины отрезков B 1 C 1 , A 1 C 1 соответственно, O — центр описанной окружности треугольника, P — одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA 2 и PB 2 вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB. 21. (10–11-е классы.) Дан выпуклый четырех­угольник ABCD. Известно, что ∠ABD + ∠ACD > > ∠BAC + ∠BDC. Докажите, что S ABD + S ACD > S BAC + S BDC . 22. (10–11-е классы.) Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках. Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы. 23. ( 10–11-е классы .) Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что AB∙CF = = 2BC∙FA, CD∙EB = 2DE∙BC, EF∙AD = 2FA∙DE. Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке. 24. (10–11-е классы.) Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y. 25. (11-й класс.) Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра. Найдите отношение ребер икосаэдров.