Примеры применения производной к исследованию функций

Цель урока: Научить проводить исследование функций; строить их графики.

Форма: урок-беседа.

Методы: диалог, наглядные пособия и слайды.

Оборудование: ИКТ, таблицы.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Учитель: - Ребята! У вас было домашнее задание "Критические точки функции, максимумы и минимумы". Дайте определение критической точки функции.

Ученик: - Критической точкой называется внутренняя точка области определения, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.

Учитель: - Как найти критические точки?

) Найти производную функции;

2) Решить уравнение: f '(x)=0. Корни этого уравнения являются критическими точками.

Учитель: - Найдите критические точки функций:

а) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

а) 1) Найдем производную данной функции:

f '(x)= (4 - 2x + 7x 2 )' = -2+14x

2) Решим уравнение f '(x)=0 <=> -2+14x =0 <=> x=1/7

3) Так как уравнение f '(x)=0 имеет один корень, то данная функция имеет одну критическую точку х = 1/7.

б) 1) Найдем производную данной функции: f '(x)= 4 - x 2

2) Решим уравнение: f '(x)=0 <=> 4 - x 2 = 0 <=> х = 2 или х = -2

3) Так как уравнение f '(x)=0 имеет два корня, то данная функция имеет две критические точки х1 = 2 и х2= -2 .

II. Устная работа.

Учитель: - Ребята! Повторим основные вопросы, которые нужны для изучения новой темы. Для этого рассмотрим таблицы с рисунками (приложение 1).

Укажите точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. Как называются эти точки?

Ученик: - На рисунке а) - точка К-это точка максимума, на рисунке б) - точка М - это точка максимума.

Учитель: - Назовите точки минимума функции.

Ученик: - Точка К на рисунке в) и г) - точка минимума функции.

Учитель: - Какие точки могут быть точками экстремума функции?

Ученик: - Критические точки могут быть точками экстремума функции.

Учитель: - Какие необходимые условия вы знаете?

Ученик: - Существует теорема Ферма. Необходимое условие экстремума: Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ', то она равна нулю: f '(x)=0.

Учитель: - Найдите критические точки для функции:

Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = | х | (приложение 2). Эта функция не имеет производной в 0. Значит, 0- критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = 2х + | х | (приложение 3). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и производной.

В самом деле, если предположить, что функция f имеет в точке 0 производную, то f(х) - 2х также имеет производную в 0. Но f(х) - 2х = | х |, а функция | х | в точке 0 не дифференцируема, т.е. мы пришли к противоречию.

Значит, функция f в точке 0 производной не имеет.

Учитель: - Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремума нужно найти критические точки. Но из рассмотренных примеров видно, что для того чтобы данная критическая точка была точкой экстремума нужно еще какое-то дополнительное условие.

Какие достаточные условия существования экстремума в точке вы знаете?

Ученик: - Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0 , а f '(x)>0 на интервале (а;х0) и f '(x) <0 на интервале (х0 ; в), то точка х0 является точкой максимума функции f.

То есть если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Ученик: - Признак минимума: Если функция f непрерывна в точке х0 , а f '(x) <0 на интервале (а;х0) и f '(x) >0 на интервале (х0 ; в), то точка х0 является точкой минимума функции f.

То есть если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Учитель: - А какой алгоритм нахождения точек экстремума функции вы знаете.

Ученик объясняет алгоритм исследования функции f на экстремум с помощью производной (приложение 4) и находит точки экстремума функции:

D (f) =IR и f непрерывна на всей числовой прямой, как целая рациональная функция.

2. f '(x) = 4x 3 -4х = 4х (х+1)(х-1).

3. f '(x)=0 <=> х= -1 V х=0 V х=1.

Так как f непрерывна в критических точках, то из рисунка 1 (приложение 5) видно, что -1 и 1 - точки минимума, а 0 - точка максимума функции f.

Учитель: - Ребята! Давайте вспомним алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f.

Ученик вспоминает алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f (приложение 6).

Учитель: - Найти промежутки возрастания и убывания функции f, заданной формулой

1. Так как f(x) - многочлен, то D (f) =IR.

2. Функция f дифференцируема на всей числовой прямой и f '(x)= 3x 2 -12 = 3 (х+2) (х-2).

3. Критическими точками функции f могут быть только нули f '(x).

f '(x) =0 <=> x = -2 V х=2.

4. Посмотрев на рис.2 (приложение 7), записываем ответ:

f возрастает на (- ; -2) и на (2; + );

f убывает на (-2 ; 2).

Учитель: - Таким образом, мы с вами повторили алгоритм нахождения точек экстремума функции и алгоритм отыскания промежутков возрастания и убывания функции.

III. Объяснение нового материала.

Учитель: - Тема сегодняшнего урока: Примеры применения производной к исследованию функции.

На этом уроке мы должны научиться проводить исследование функций и строить их графики. Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции f и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Для полного исследования функции f и построения ее графика удобно пользоваться общей схемой исследования, которая состоит из следующих пунктов (приложение 8):

Найти области определения и значений данной функции f.

Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f:

а) четной или нечетной;

3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции f.

5. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

6. Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек не входящих в область определения.

8. Построить график функции.

Эта схема имеет примерный характер.

Учитывая все сказанное, исследуем функцию: f(x)= 3x 5 -5х 3 +2 и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме:

D (f ') =IR, так как f (x) - многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5х 3 +2= -( 3x 5 -5х 3 -2) f(x)

Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x 5 -5х 3 +2 = 0.

Методом подбора можно найти один из корней (x = 1). Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0)=2

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

а ) f '(x)= 15x 4 -15х 2 = 15х 2 (х 2 -1)

D (f ') =IR, поэтому критических точек которых f '(x)не существует, нет.

б) f '(x) = 0, если х 2 (х 2 -1)=0 <=> x = -1 V x = 0 V x = 1.

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

Из рисунка 3 (приложение 9) видно, что: f возрастает на интервалах (- ; -1) и (1; + );

f убывает на (-1 ; 0) и (0; 1).

Так как функция непрерывна в точках -1; 0; 1, то f возрастает на (- ; -1] и [1; + );

f убывает на [-1; 0] и [0; 1].

6. Найдем точки экстремума функции и вычислим значения функции в этих точках. Рассматривая рисунок 3 знаков f ?видим, что:

x =-1 - точка max, f (-1) =4;

x = 1 - точка min, f (1) =0.

Полученные результаты занесем в таблицу (приложение 10) и построим график (приложение 11).

IV. Закрепление новой темы. Решение задач.

Учитель: - Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x)= x 4 -2х 2 -3.

Ученик: - 1) D (f) =R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2х 2 -3; f(-x)= f(x),

значит, функция f является четной. Исследование ее можно проводить на промежутке [0; ).

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, то есть решим уравнение x 4 -2х 2 -3 = 0. Пусть х 2 =у, у 2 -2у-3= 0, у=3 или у=-1, то есть х 2 =3, х= 3 или х=- 3; х 2 =-1 не имеет решений. Получили две точки пересечения с осью абсцисс М( 3; 0), К(- 3; 0). График пересекает ось ординат в точке В (0; -3).

4) Найдем производную f '(x) = 4x 3 -4х = 4х(х-1)(х+1).

5) Найдем критические точки функции:

а) f ''(x) =0, если 4х (х-1) (х+1)=0, <=> x = 0 V x = -1 V x = 1.

б) f ' определена на всей D(f).

6) Определим знак производной на промежутках (- ; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; ):

б) f '(-1/2) = 4 * (-1/2) 3 -4 * (-1/2)= -1/2 + 2 > 0;

в) f '(1/2) = 4 * (1/2) 3 -4 * (1/2)= 1/2 - 2 < 0;

г) f '(2) = 4 * 8 - 4 * 2 > 0.

Найдем значения функции в точках -1; 0; 1:

Полученные данные занесем в таблицу (приложение 12):

Учитель: - Найти число корней уравнения: 2x 3 -3x 2 -12х-11=0

Решение: Рассмотрим функцию f(x)= 2x 3 -3x 2 -12х-11=0.

Найдем область определения функции: D (f) = (- ; )

Найдем ее производную: f '(x) = 6x 2 -6х-12

Найдем критические точки функции:

f '(x) =0, если 6x 2 -6х-12=0, <=> x = -1 V x = 2.

5) а) На промежутке (- ; -1] функция возрастает от - до -4, поэтому на этом промежутке уравнение f (x)=0 корней не имеет.

б) На промежутке [-1; 2] уравнение так же не имеет корней, так как на этом промежутке функция убывает от -4 до -31.

в) На промежутке [2; ) функция возрастает от -31 до бесконечности, на этом промежутке уравнение f (x)=0 имеет один корень (по теореме о корне, то есть если функция возрастает (убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке, то уравнение f (x) = а имеет единственный корень в промежутке I). Итак, уравнение 2x 3 -3x 2 -12х-11=0 имеет один корень и этот корень принадлежит интервалу (2; ).

Учитель: - Сколько корней имеет уравнение: x 4 /4 -x 3 - x 2 /2 +3х = 0

Ученик: - Решение: Рассмотрим функцию р(x) = x 4 /4 -x 3 - x 2 /2 +3х:

1) Найдем область определения функции D(р) = (- ; ).

2) Найдем производную р' (x) = x 3 - 3x 2 -x+3

3) Найдем критические точки и промежутки возрастания и убывания функции:

Из рисунка 4 (приложение 15) видно, что: р(x) возрастает на интервалах [-1; 1] и [3; + );

р(x) убывает на (- ; -1] и [1; 3].

4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции:

x= 1 max р max= 1/4 -1-1/2+3 =1 3/4 > 0,

х=3 min р min= 81/4-27-9/2+9= -27/2 < 0.

Из рисунка видно, что многочлен имеет 4 корня, следовательно, уравнение имеет 4 решения.

V. Самостоятельная работа.