Переход к канонической форме ЗЛП

Математическая модель ЗЛП называется основной, если ограничения в ней представлены в виде уравнений при условии неотрицательности переменных.

Математическая модель называется канонической, если ее система ограничений представлена в виде системы m линейно независимых уравнений (ранг системы r=m), в системе выделен единичный базис, определены свободные переменные и целевая функция выражена через свободные переменные. При этом правые части уравнений неотрицательны (bi ≥ 0).

Переменные, входящие в одно из уравнений системы с коэффициентом один и отсутствующие в других уравнениях называются базисными неизвестными, а все другие – свободными.

Решение системы называется базисным, если в нем свободные переменные равны 0, и оно имеет вид: Xбаз = (0, 0; b1, …, bm), f(Xбаз) = c0

Базисное решение является угловой точкой множества решений системы, т.е. определяет вершину многоугольника решений модели. Среди таких решений находится и то, при котором целевая функция принимает оптимальное значение.

Базисное решение называется опорным, если оно допустимо, т.е. все правые части уравнений системы (или неравенств) положительны bi ≥ 0.

Компактная форма канонической модели имеет вид: AX = b X ≥ 0 Z = CX(max)

Понятие допустимого решения, области допустимых решений, оптимального решения задачи линейного программирования. Определение 1 . Вектор X, удовлетворяющий системе ограничений ЗЛП, в том числе и условиям неотрицательности, если они имеются, называется допустимым решением ЗЛП. Определение 2 . Совокупность всех допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) ЗЛП. Определение 3 . Допустимое решение, для которого целевая функция достигает максимума (или минимума), называется оптимальным решением.

• эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;
• при этих значениях целевая функция обращалась бы в минимум или максимум.

Определение. Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать. Примером такой задачи ЛП в канонической форме является задача 1 – сбалансированная транспортная задача с системой ограничений (1) и целевой функцией (2). Однако в большинстве экономических задач чаще всего в систему ограничений первоначально входят не только уравнения, а и неравенства.

Утверждение. Любая общая задача ЛП может быть приведена к канонической форме. Приведение общей задачи ЛП к канонической форме достигается путем введения новых (их называют дополнительными) переменных. Система ограничений (3) этой задачи состоит из четырех неравенств. Введя дополнительные переменные y1≥ 0, y2≥ 0, y3≥ 0, y4 ≥ 0, можно перейти к системе ограничений:

Эти дополнительные переменные y i имеют абсолютно ясный экономический смысл, а именно означают величину неиспользованного времени работы (простоя машины i-го вида). Например, если бы машины первого вида работали все 18 ч, то x + y = 18, следовательно, y 1 = 0. Но мы допускаем возможность неполного использования времени работы первой машины x + y<18. В этом случае y1 приобретает положительное значение и может рассматриваться как неиспользованный лимит времени. Например, зная решение этой задачи из пункта 3.3.2, x = 12, y = 6, мы можем из системы ограничений (3.9) сделать вывод, что y1 = y2 = y3 = 0, а y4 = 12 – 6 = 6. Т. е. машины первого, второго, третьего вида используют свое рабочее время полностью. А вот четвертая машина загружена лишь наполовину, 6 часов, и при заданном оптимальном плане простаивает. Возможно, после таких выводов руководителю предприятия захочется загрузить ее другой работой, сдать в аренду на это время и т.д. Итак, введением дополнительных переменных мы можем любое ограничение типа неравенства привести к уравнению.

Рассмотрим задачу о смеси. Система ограничений имеет вид: Неравенства были обращены в сторону «больше», поэтому вводя дополнительные переменные y 1, y 2, y 3≥ 0, их необходимо вычесть из левой части, чтобы уравнять ее с правой. Получим систему ограничений в канонической форме: Переменные yi также будут иметь экономический смысл. Если вы вспомните практическое содержание задачи, то переменная y 1 будет означать количество излишнего вещества А в смеси, y 2 –количество излишков вещества В в смеси, y3 – излишки С в смеси. Задача нахождения максимального значения целевой функции может быть сведена к нахождению минимума для функции –F ввиду очевидности утверждения max F = –min (– F ). Посмотрите на рисунок: если в какой-то точке x= x0 функция y= F(x) достигает своего максимума, то функция y= –F(x), симметричная ей относительно оси OX, в этой же точке x0 достигнет минимума, причем Fmax = – (–Fmin) при x = x0.

• неравенства, входящие в систему ограничений задачи, преобразовать в уравнения с помощью введения дополнительных переменных;
• если целевая функция F→max (максимизируется), она заменяется на функцию –F→ min (которая минимизируется).

Пример №1 . Следующую задачу ЛП привести к каноническому виду: F(X) = 5x1 + 3x2 → max при ограничениях: 2x1 + 3x2≤203x1 + x2≤15 4x1≤16 3x2≤12 Модель записана в стандартной форме. Введем балансовые неотрицательные переменные x3, x4, x5, x6, которые прибавим к левым частям ограничений-неравенств. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентами, равными нулю: В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. Во 2-ом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В третьем неравенстве вводим базисную переменную x5. В 4-м неравенстве - базисную переменную x6. Получим каноническую форму модели: 2x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 203x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 154x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 160x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 12 F(X) = 5x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 → max

Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо: 1. Поменять знак у целевой функции - F = -2x1 + x2 - 4x3 +2x4 → max

4. Соответствующая целевая функция примет вид: - F = -2x1 + x2 - 4(x8 – x9) +2(x10 – x11) → max

Пример №2 . Преобразовать следующие задачи ЛП к канонической форме и решить их симплекс-методом.